[TutorOnline] Курс по высшей математике для студентов 2022 [Василий Рустамович]

Василий Рустамович — Профессиональный преподаватель высшей математики.
Опыт работы: 4 года
Достижения: Магистр физико-математических наук. Аспирант кафедры аналитической экономики и эконометрики. Ассистент кафедры общей математики и информатики

• З0 видеолекций.
• ДЗ и тесты с видеоразборами.
• Лекции по 35 минут.

Курс подходит как для самостоятельного изучения предмета (заочное обучение, например), так и для «нагнать пропущенное» и «понять непонятое»
Программа
Занятие 1 — Матрицы. Виды матриц. Действия над ними

• Понятие матрицы
• Обозначения матриц и элементы матрицы
• Основные виды матриц
• Операции над матрицами
• Свойства матриц

Занятие 2 — Определители второго и третьего порядка

• Понятие определителя 2-го порядка
• Свойства определителей
• Вычисление определителя 3-го порядка с использованием метода разложения по строке
• Вычисление определителя 3-го порядка с использованием метода разложения по столбцу
• Вычисление определителя 3-го порядка с использованием метода треугольников

Занятие 3 — Определители n-го порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица

• Понятие минора элемента aij определителя n-го порядка и обозначение
• Понятие алгебраического дополнения элемента aij определителя n-го порядка
• Понятие определителя n-го порядка
• Теорема о вычислении определителя n-го порядка
• Понятие невырожденной матрицы
• Определение обратной матрицы
• Теорема о единственности обратной матрицы
• Теорема о необходимом и достаточном условии существования обратной матрицы
• Свойства обратной матрицы

Занятие 4 — СЛАУ: Метод Крамера

• Общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
• Понятие решения СЛАУ
• Формулы Крамера
• Теорема о связи решения СЛАУ и формулами Крамера
• Однородная система линейных алгебраических уравнений

Занятие 5 — СЛАУ: Метод Гаусса

• Элементарные преобразования СЛАУ
• Метод Гаусса

Занятие 6 — Матричные уравнения вида: AX=B, XA=B и АХВ=С

• Общий вид системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
• Понятие однородной и неоднородной системы
• Понятие совместной и несовместной системы
• Понятие основной матрицы системы
• Понятие расширенной матрицы системы
• Матричная запись системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
• Примеры решения матричного уравнения вида AX=B
• Примеры решения матричного уравнения вида XA=B
• Примеры решения матричного уравнения вида АХВ=С

Занятие 7 — Комплексные числа. Формы комплексного числа

• Комплексная плоскость
• Алгебраическая форма комплексного числа
• Тригонометрическая форма комплексного числа
• Показательная форма комплексного числа

Занятие 8 — Комплексные числа. Операции над комплексными числами, формула Муавра

• Операции над комплексными числами
• Формула Муавра

Занятие 9 — Метод математической индукции

• Понятие математической индукции
• Алгоритм доказательства по математической индукции

Занятие 10 — Предел последовательности. Доказательство предела по определению. Дополнительные определения и теоремы. Ограниченность последовательностей

• Понятие числовой последовательности
• Понятие окрестности точки, предела последовательности, сходящейся и расходящейся последовательности
• Примеры доказательства по определению
• Понятие предела по Гейне
• Отрицание определения
• Понятие ограниченной сверху, снизу, сверху и снизу последовательности и альтернативные определения
• Теорема о связи предела и ограниченной последовательности
• Теорема о единственности предела

Занятие 11 — Операции над пределами. Неопределенности. Простейшие пределы и с неопределенностью ∞/∞

• Свойства предела и арифметических операций
• Виды неопределенностей
• Примеры простейших пределов
• Предел и неравенства
• Теорема о зажатой переменной или о 2-ух милиционерах
• Метод вычисления предела с неопределенностью вида ∞/∞

Занятие 12 — Предел с неопределенностью вида 0/0

• Метод вычисления предела с неопределенностью вида 0/0
• Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженный множитель

Занятие 13 — Замечательные пределы и следствия

• 1-й замечательный предел и следствия
• Примеры использования 1-го замечательного предела
• 2-й замечательный предел и следствия

Занятие 14 — Замечательные пределы и следствия. Порядок роста функции. Сравнение бесконечно больших функций

• Применение 2-ого замечательного предела и следствий для неопределенностей вида 1∞
• Порядок роста функции
• Сравнение бесконечно больших функций

Занятие 15 — Сравнение бесконечно малых функций. Предел с неопределенностью

• Сравнение бесконечно малых функций
• Метод вычисления предела с неопределенностью вида ∞ – ∞
• Метод вычисления предела с неопределенностью 00
• Метод вычисления предела с неопределенностью ∞0

Занятие 16 — Сложные пределы. Эквивалентные функции

• Определение эквивалентных функций
• Понятие проколотой окрестности
• Теорема о замене функций эквивалентными
• Примеры применения эквивалентных функций при решении сложных пределов

Занятие 17 — Производная функции. Свойства. Правила дифференцирования

• Понятие производной функции
• Физический смысл производной
• Геометрический смысл производной
• Вычисление производной по определению
• Понятие дифференцируемой функции в точке
• Основные правила дифференцирования
• Вычисление производной

Занятие 18 — Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные высших порядков

• Примеры вычисления производной сложной функции
• Примеры производной обратной функции
• Примеры производной высших порядков

Занятие 19 — Правило Лопиталя для вычисления пределов

• Правило Лопиталя для неопределенности вида 0/0
• Правило Лопиталя для неопределенности вида ∞/∞
• Правило Лопиталя для неопределенности вида ∞–∞

Занятие 20 — Дифференциал функции. Геометрический и физический смысл. Свойства. Дифференциал высшего порядка

• Понятие дифференциала функции
• Геометрический смысл дифференциала
• Физический смысл дифференциала
• Правила нахождения дифференциала
• Приближенное вычисление значения при помощи дифференциала

Занятие 21 — Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Метод интегрирования

• Понятие первообразной функции
• Понятие и свойства неопределенного интеграла
• Проверка правильности вычисления неопределенного интеграла с помощью дифференцирования
• Метод интегрирования

Занятие 22 — Метод замены переменной, поднесения под знак дифференциала. Метод интегрирования по частям

• Примеры вычисления несобственного интеграла с помощью метода поднесения под знак дифференциала
• Примеры вычисления несобственного интеграла с помощью метода непосредственной замены переменной (подстановки)
• Примеры вычисления несобственного интеграла с помощью метода интегрирования по частям

Занятие 23 — Интегрирование рациональных дробей

• Вычисление неопределенного интеграла от рациональных дробей

Занятие 24 — Определенный интеграл. Метод интегрирования, метод замены переменной

• Понятие определенного интеграла и сопутствующие определения
• Формула Ньютона-Лейбница
• Свойства определенного интеграла
• Геометрический и физический смысл определенного интеграла
• Методы вычисления определенного интеграла

Занятие 25 — Вектор. Линейная зависимость и независимость. Координаты вектора. Длина вектора

• Определение вектора. Свойства векторов
• Определение линейной зависимости и независимости векторов
• Определение базиса
• Определение координат вектора
• Длина вектора

Занятие 26 — Скалярное произведение. Критерий ортогональности векторов. Геометрические задачи

• Определение и свойства скалярного произведения
• Критерий ортогональности векторов
• Компланарность векторов
• Ортонормированный базис

Занятие 27 — Векторное и смешанное произведение. Критерии коллинеарности векторов. Геометрические задачи

• Определение векторного произведения
• Определение правой и левой тройки векторов
• Три критерия коллинеарности векторов
• Векторное произведение (вектора заданы в ортонормированном базисе)
• Понятие смешанного произведения

Занятие 28 — Виды уравнения прямой и способы задания

• Уравнение прямой, проходящей через точку
• Уравнение прямой, проходящей через две точки
• Параметрические уравнения прямой
• Уравнение прямой в отрезках
• Общее уравнение прямой

Занятие 29 — Угол между прямыми, параллельность, перпендикулярность. Расстояние от точки до прямой

• Понятие угла между прямыми
• Условия параллельности и перпендикулярности прямых
• Понятие расстояния от точки до прямой
• Правило вычисления расстояния от точки до прямой

Занятие 30 — Решение различных геометрических задач

• Повторение